Isto é a Matemática aplicada à Política!

Este é um episódio de uma série de divulgação científica, agora premiada, ver AQUI.

"A lógica é fofinha"

Este é um episódio de uma série de divulgação científica chamada "Isto é Matemática", agora premiada, ver AQUI.

Demonstração “matemática” da importância do estudo

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Fonte: PortalMath – Matemática Online

Os alunos da Pinheiro à descoberta da Matemática na arte (1)

Fotografia de Samuel Camacho do 11º F.

A visita ao CAM (Centro de Arte Moderna da Gulbenkian) foi bastante enriquecedora, pois tivemos oportunidade de perceber como é que  a análise de certas obras arte se pode relacionar com ideias matemáticas.

As obras de arte, que vimos durante a visita guiada, estavam organizadas em níveis.

No primeiro nível, as obras observadas eram caracterizadas por serem em 2D (duas dimensões). Por isso, havia simetria em certos detalhes e o desenho estava orientado conforme dois eixos: o eixo X e eixo Y. Existiam translações, círculos e circunferências. O quadro que observamos para ilustrar estas características foi o da pintora Beatriz Milhazes.

“Primavera” de Beatriz Milhazes (uma pintora nascida em 1960). Para mais informações sobre esta exposição, ver aqui.

No segundo nível, as obras de arte observadas produziam ilusões óticas no espectador. Transmitiam, por exemplo, a sensação de profundidade e de movimento. Foi o caso de uma bola que parecia flutuar em cima de fitas. Ao longe, aparentemente, a bola parecia leve e suspensa no ar. Contudo, este efeito de leveza não era real, ao aproximar-nos verificámos que as fitas eram pesadas - eram de ferro tal como a bola - e eram elas que suportavam o elevado peso da bola.

Outra obra analisada - constituída por uma sequência de fotografias - era da autoria da pintora Helena Almeida. Inicialmente, via-se a uma fotografia da pintora com um pincel na mão com tinta azul. A sensação que nos dava é que a mão ia pintando um bocado de tela cada vez maior. O que nós víamos é que depois de pintar a tela azul, havia uma mão que empurrava a cortina de tinta azul e a afastava. Ao olharmos a sequência de imagens tínhamos a ilusão de movimento, como se o pincel ou a mão pudessem, de facto, produzir o efeito da tinta a aparecer ou a desaparecer. Mas, na realidade, eram apenas os nossos sentidos a enganarem-nos. O que, de facto, aconteceu foi as fotografias terem sido pintadas como se fossem uma tela. A sensação de profundidade e de movimento eram, portanto, aparentes e não correspondiam à realidade.

As fotografias de Helena Almeida que observamos no CAM.

A guia da visita mostrou-nos - para ilustrar algumas das ideias que estavam presentes na sequência de fotografias que observáramos anteriormente – uma outra sequência de fotografias, da mesma artista, que produziam uma imagem distorcida da realidade: como se a linha, desenhada na mão com a caneta, pudesse ser um bocado de fio que os nossos dedos pudessem sentir e manusear.

«Sente-me» de Helena Almeida, 1979.

Georgeta, Jéssica e Tatiana, 11º C

Razões para duvidar, segundo Descartes

«Notei, há alguns anos já, que, tendo recebido desde a mais tenra idade tantas coisas falsas por verdadeiras, e sendo tão duvidoso tudo o que depois sobre elas fundei, tinha de deitar abaixo tudo, inteiramente, por uma vez na minha vida, e começar, de novo, desde os primeiros fundamentos, se quisesse estabelecer algo de seguro e duradouro nas ciências. Então, hoje, (…) vou dedicar-me, por fim, com seriedade e livremente, a destruir em geral as minhas opiniões.

Para isso não será necessário mostrar que todas são falsas, o que possivelmente eu nunca iria conseguir. (…) Não tenho de percorrê-las cada uma em particular, trabalho que seria sem fim: porque uma vez minados os fundamentos, cai por si tudo o que está sobre eles edificado, atacarei imediatamente aqueles princípios em que se apoiava tudo o que anteriormente acreditei.

Sem dúvida, tudo aquilo que até ao presente admiti como maximamente verdadeiro foi dos sentidos ou por meio dos sentidos que o recebi. Porém, descobri que eles por vezes nos enganam, e é de prudência nunca confiar naqueles que, mesmo uma só vez, nos enganaram.

Mas ainda que os sentidos nos enganem algumas vezes sobre coisas pequenas e afastadas, há todavia muitas outras de que não podemos duvidar, embora as recebamos por eles: como, por exemplo, que estou aqui, sentado junto à lareira, vestido com um roupão de Inverno, que toco este papel com as mãos, e outros factos semelhantes. E ainda, qual a razão por que se poderia negar que estas próprias mãos e todo este meu corpo são meus? (…)

Ora muito bem, como se eu não fosse um homem que costuma dormir de noite e consentir em sonhos (…) [muitas coisas irreais]. Com efeito, quantas vezes me acontece que, durante o repouso nocturno, me deixo persuadir de coisas tão habituais como que estou aqui, com o roupão vestido, sentado à lareira, quando todavia estou estendido na cama e despido! Mas agora, observo este papel seguramente com os olhos abertos, esta cabeça que movo não está a dormir, voluntária e conscientemente estendo esta mão e sinto-a: o que acontece quando se dorme não parece tão distinto. Como se não me recordasse de já ter sido enganado em sonhos por pensamentos semelhantes! Por isso, se reflicto mais atentamente, vejo com clareza que vigília e sonho nunca se podem distinguir por sinais seguros, o que me espanta (…).

[Contudo], a Aritmética, a Geometria e outras ciências desta natureza, que só tratam de coisas extremamente simples e gerais e não se preocupam em saber se elas existem ou não na natureza real, contêm algo de certo e indubitável. Porque, quer eu esteja acordado quer durma, dois e três somados são sempre cinco e o quadrado nunca tem mais do que quatro lados e parece impossível que verdades tão evidentes possam incorrer na suspeita de falsidade.

Todavia, está gravada no meu espírito uma velha crença, segundo a qual existe um Deus que pode tudo e pelo qual fui criado tal como existo. Mas quem me garante que ele não procedeu de modo que não houvesse nem terra, nem céu (...), nem grandeza, nem lugar, e que, no entanto, tudo isto me parecesse existir tal como agora? E mais ainda, assim como concluo que os outros se enganam algumas vezes naquilo que pensam saber com absoluta perfeição, também eu me podia enganar todas as vezes que somasse dois e três ou contasse os lados de um quadrado, ou em algo de mais fácil ainda, se é possível imaginá-lo. (...) Vejo-me constrangido a reconhecer que não existe nada, naquilo que outrora reputei como verdadeiro, de que não seja lícito duvidar. (...)

[Suponhamos, então, que] há um enganador (…) sumamente poderoso e astuto, que me engana sempre com a sua indústria. No entanto, não há dúvida de que existo, se me engana; que me engane quanto possa, não conseguirá nunca que eu seja nada enquanto eu pensar que sou alguma coisa. De maneira que (...) deve por último concluir-se que esta proposição Eu sou, eu existo, sempre que proferida por mim ou concebida pelo meu espírito, é necessariamente verdadeira.»

Descartes, Meditações sobre a Filosofia Primeira, trad. de Gustavo de Fraga, Livraria Almedina, Coimbra, 1985, pp. 105-119.

 Descartes dando lições de Filosofia à Rainha Cristina da Suécia.

Apologia da exigência

Carlos Café publicou no blogue a filosofia vai ao cinema três posts com textos - muito interessantes - de Ricardo Moreno Castillo, um professor de Matemática espanhol muito crítico do “eduquês”. Vale a pena ler.

Sobre o “PANFLETO ANTIPEDAGÓGICO”, de Ricardo Moreno Castillo

Moreno Castilho: defesa da exigência na escola contra os delírios do "eduquês"

O que pensa Moreno Castillo da formação de professores

Ricardo Moreno Castillo foi um dos oradores nas conferências O Valor de Educar, já referidas aqui.

Os sonhos de Akira Kurosawa: cinema em tempo de lazer (2)

Há duas ideias que com frequência são referidas ao falar dos sonhos. A primeira corresponde a uma questão filosófica: se os nossos sonhos podem reproduzir o real em todos os seus detalhes, então como posso eu saber (ou o caro leitor) se a experiência que estou a vivenciar neste preciso momento não passa afinal de um sonho? Mais: como posso eu saber se a vida não é toda ela um sonho?

Alguns filósofos, como por exemplo Descartes nas Meditações Metafísicas, procuraram responder a este problema imaginando certas experiências mentais. Num dado momento da reflexão cartesiana supõe-se que existirá um Génio Maligno que nos engana não só quanto ao conhecimento sensorial que julgamos ter da realidade, como em relação a conhecimentos aparentemente tão certos e objectivos como os da Matemática. A argumentação cartesiana foi alvo de fortes objecções por parte de outros filósofos, algumas delas referidas aqui neste blogue. Mas a questão de saber qual o critério que permite distinguir o sonho da realidade permanece em aberto e  foi também abordada em filmes muito conhecidos, como por exemplo o Matrix.

A segunda ideia sobre os sonhos insere-se no domínio da psicanálise e não da filosofia. Segundo a teoria de Freud, os sonhos são manifestações disfarçadas de certos desejos – de natureza sexual – que o indivíduo no estado consciente reprime por não serem socialmente aceitáveis. Durante o sono, como a vigilância exercida pelos mecanismos de censura do Eu se encontra atenuada, esses desejos manifestam-se de forma indirecta (simbólica). Daí que seja necessário distinguir o conteúdo manifesto do sonho – aquilo que a pessoa se lembra de ter sonhado, ser atacada por uma cobra, por exemplo – do conteúdo latente ou oculto, cuja interpretação cabe ao psicanalista. Deste modo, sendo a cobra  na linguagem freudiana um símbolo fálico, quem sonha com cobras tem, na verdade, desejos sexuais que se recusa a assumir.

Pode-se defender que Freud tem razão e que as motivações de natureza inconsciente têm um papel muito importante na personalidade e no comportamento dos seres humanos. Ou então, pelo contrário, que a teoria freudiana não tem nada de científico, pois não garante um dos critérios fundamentais da ciência: a objectividade. E, portanto, podemos sonhar em paz, pois nada do que nos vem à cabeça durante o sono revela as perversidades do nosso carácter.

O filme “Sonhos”, do japonês Akira Kurosawa, é constituído por oito contos:  histórias com que o realizador, de facto, sonhou. Os vídeos referem-se ao número dois: “O pomar de pêssegos” e ao número cinco: “Corvos”. O filme é constituído por outros, como por exemplo: “O brilho do Sol através da chuva”, “A tempestade de neve”, “O túnel” e “O monte Fuji em vermelho”.

Com ou sem interpretações psicanalíticas, com ou sem reflexões filosóficas (estas mais difíceis de evitar que aquelas), vale a pena ver este filme. Nele são abordados temas como a morte, a guerra, a consciência moral e ambiental, o sentido da vida, entre outros.

Vi-o há aproximadamente vinte anos em Lisboa num cinema que já não existe. Revi-o estas férias e continuo a achá-lo tão belo e perturbador como da primeira vez.

É a existência de obras belas como esta, bem como de coisas como o amor e a amizade – muitas vezes incólumes à passagem do tempo -, que permite dar significado às nossas vidas breves e árduas.

A utilidade da matemática… e de um pouco de raciocínio

Imagem encontrada aqui, no blogue Biogeonorte, sem referência ao autor.

Os relógios loucos de Carroll

(A imagem foi tirada daqui.)

O matemático, Martin Gardner, no seu livro Ah, apanhei-te! (edições Gradiva) refere um paradoxo, formulado pelo autor da Alice no País das Maravilhas, chamado 'os relógios loucos de Carroll'.

“Qual dos relógios regista o tempo mais fielmente? Um que se atrasa um minuto por dia ou um que não funciona?”

Lewis Carroll argumentou da seguinte maneira:

- o relógio que se atrasa um minuto por dia dá a hora exacta de dois em dois anos. O relógio parado está certo duas vezes em cada vinte e quatro horas. Por isso, o relógio parado regista melhor o tempo. Concorda?

Como determinou Carroll quantas vezes o relógio atrasado dava a hora certa?”

Uma explicação importante do autor do livro referido: “A palavra paradoxo possui diversos significados, mas uso-a aqui em sentido lato para designar quaisquer efeitos de tal modo em contradição com o senso comum e a intuição que provocam uma reacção imediata de surpresa e perplexidade.”

Em 2010: diversão, Lógica e Matemática

O autor do livro Alice no país das maravilhas, Lewis Carroll, chamava-se na verdade Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898) e escreveu vários livros de matemática, por exemplo: Guia da Geometria Algébrica Elementar e As fórmulas da Trignometria elementar.

Eis uma sugestiva passagem do livro Alice no país das maravilhas:

« – Precisas de cortar o cabelo – disse o Chapeleiro.

Estivera a observar Alice com grande curiosidade e foi esta a primeira vez que falou.

- Devias aprender a não fazer comentários pessoais – disse a Alice com alguma severidade. – É uma grande falta de educação.

Ao ouvir isto, o Chapeleiro abriu muito os olhos, mas tudo o que disse foi:

Em que se parece um corvo e uma secretária?

“Finalmente vamos divertir-nos!” pensou a Alice. “Ainda bem que eles começaram a dizer adivinhas.”

- Queres saber qual é a resposta? - perguntou a Lebre de Março.

- Exactamente isso – disse a Alice.

- Nesse caso, deves explicar-te quando falas – continuou a Lebre de Março.

- É o que eu faço – apressou-se a responder a Alice. – Pelo menos, quando falo explico-me… É a mesma coisa…

-Não é a mesma coisa! – ripostou o Chapeleiro. – Podes muito bem dizer “Eu vejo o que como”, que não é a mesma coisa que “Eu como o que vejo”.

- Podias muito bem dizer “Eu gosto do que tenho”, que não é a mesma coisa que “Eu tenho o que gosto” – acrescentou a lebre de Março.»

As palavras trocadas entre a Alice e o Chapeleiro, no final deste diálogo, poderão ser explicadas a partir de algumas noções de Lógica dadas nas aulas. Mas para quem tiver curiosidade há mais…

Nota: A citação foi retirada do livro Alice no país das maravilhas, tradução de Maria Filomena Duarte, Edições D. Quixote, Lisboa, 1988, págs. 70-71.

O que não se deve perguntar num teste de diagnóstico

Cartoon de Randy Glasbergen, retirado do blogue Today’s Cartoon.

A razão pela qual esta pergunta não deve ser feita num teste de Filosofia, nomeadamente no teste de diagnóstico, não é apenas o facto de incidir num assunto matemático e não filosófico.

Explicação matemática da ‘aposta de Pascal’

Blaise Pascal era um filósofo e matemático francês que, no século XVII, argumentou a favor da existência de Deus recorrendo à ideia de “aposta” – a aposta de Pascal. No post Deus existe ou não? Vai uma aposta? encontra uma explicação simples e sumária desse argumento. Pascal formulou o argumento em termos matemáticos, como explica Leonard Mlodinow.

“Pascal fez uma análise pormenorizada dos prós e dos contras do dever para com Deus como se estivesse a calcular matematicamente a sensatez de uma aposta.

A sua grande inovação foi o método de pesar estes prós e contras, um conceito a que se dá hoje o nome de esperança matemática.

A esperança matemática é um importante conceito, não só nos jogos de azar como na tomada de decisões. Com efeito, a aposta de Pascal é muitas vezes considerada a fundação da disciplina matemática da teoria dos jogos, o estudo quantitativo das estratégias de decisão óptimas nos jogos.

O raciocínio de Pascal era o seguinte. Admitamos que não sabemos se Deus existe ou não, e, por conseguinte, atribuamos uma probabilidade de 50% para cada uma das proposições. Como pesar esta probabilidade na decisão de levar ou não uma vida piedosa? Se vivermos piedosamente e Deus existir, argumentava Pascal, o nosso ganho – a felicidade eterna – é infinito. Se, por outro lado, Deus não existir, a nossa perda, ou lucro negativo, é pequena – os sacrifícios da piedade. E, para pesar estes possíveis ganhos e perdas, Pascal propunha que se multiplicasse a probabilidade de cada resultado possível pela sua recompensa e se somasse tudo, formando uma espécie de recompensa média ou esperada. Por outras palavras, a esperança matemática do nosso lucro com a piedade é metade de infinito (o ganho se Deus existir) menos metade de um número pequeno (a nossa perda se Ele não existir). Pascal sabia o suficiente sobre o infinito para saber que a resposta deste cálculo era infinito, pelo que o lucro esperado com a piedade é infinitamente positivo. E assim, concluiu Pascal, qualquer pessoa sensata deve seguir as leis de Deus. Hoje, chama-se a este argumento a aposta de Pascal.”

Leonard Mlodinow, O Passeio do Bêbado, Editorial Bizâncio, Lisboa, 2009, pág. 92.

(Clique no nome do livro se quiser obter informações úteis acerca do mesmo.)

A injustiça da morte: uma história de M. S. Lourenço

Há anos atrás, M. S. Lourenço escreveu no semanário O Independente várias crónicas chamadas Os Degraus de Parnaso, depois publicadas em livro com o mesmo nome.

Na crónica que mais gostei (e cujo título infelizmente não recordo) descreveu uma situação ocorrida em Angola, na Guerra Colonial. Recordo que, em poucas linhas, descreve magistralmente o sufocante calor africano e a sua atrapalhação por ter de comandar um posto militar, já que o capitão que tinha essa responsabilidade metera baixa (por motivos psicológicos, se bem me lembro) e ele era o oficial mais graduado.

M. S. Lourenço conta que um dia, após o almoço, estava ele mergulhado na leitura de um livro, um grupo de pessoas se aproximou inesperadamente do posto militar, fazendo muito barulho e atirando algumas pedras. Os soldados de sentinela (assustados, confundidos pelo calor, pelo barulho e pela poeira) julgaram tratar-se de um ataque e dispararam alguns tiros.

Perceberam depois que se tratava de um grupo de homens, mulheres e crianças a quem um missionário evangélico qualquer dissera que na Bíblia estava escrito que os portugueses não deviam estar em África. Aquelas pessoas tinham ido, portanto, explicar aos soldados portugueses que se deviam ir embora. Iam de Bíblia na mão e entoando ruidosos e frenéticos cânticos. Não estavam armadas. Não era um ataque!

Havia diversos mortos e feridos. M. S. Lourenço ajudou o médico a tratar dos vivos e dos mortos. Quando terminaram, horas depois, o médico disse. “Não acredito na ressurreição dos mortos. Mas agora vejo que é uma ideia justa.”

M. S. Lourenço morreu no sábado: 1 de Agosto de 2009. Além de filósofo, foi professor de Filosofia, poeta e tradutor. Dedicou a maior parte do seu trabalho à Lógica e à Filosofia da Matemática. Embora muitos dos seus trabalhos não sejam acessíveis a não especialistas, vale a pena espreitar a sua página pessoal - M. S. Lourenço.

(Mais informações na revista Crítica e aqui e aqui.)

O valor do esforço – uma história de Isaac Asimov

«Isaac Asimov, num conto com mais de cinquenta anos publicado nos Nove Amanhãs, relata a seguinte história. Num futuro imaginário, as crianças brincam 364 dias por ano e um dia por ano o seu cérebro fica ligado a uma máquina com discos que lhes administram automaticamente todos os conhecimentos de que necessitam. Assim fazem toda a escolaridade e aprendem tudo o que precisam, da primária à Universidade. Todos menos um rapazito.

Desde os 7 anos de idade este rapaz foi obrigado a aprender à maneira antiga: estudando, tendo aulas, esforçando-se, compreendendo, investindo o seu tempo. Enquanto os seus amigos brincavam 364 dias por anos, ele estudava. E assim foi, para sua grande frustração, incompreensão e mesmo revolta, até à idade adulta.

Nessa altura foi chamado pelas classes governantes da sociedade. Começa por expor toda a sua revolta. Porque é que me trataram assim? Porque é eu tive de me esforçar para aprender por mim próprio tudo aquilo que ensinaram aos outros sem esforço? E a resposta foi “Porque tu foste escolhido para escrever os próximos discos”.»

No post Para que serve a Matemática? foi referido um brilhante texto de Jorge Buescu sobre a importância do estudo da Matemática. Nesse texto é contada esta história de Isaac Asimov, cujo significado não se cinge ao estudo da Matemática, pois mostra a importância do ensino rigoroso e exigente, seja qual for a área.

Para que serve a Matemática?

O cartoon foi tirado deste sítio.

Jorge Buescu publicou em 2007, no jornal Público e também no blogue Rerum Natura, um interessante texto (para ler clicar aqui) sobre a importância de aprender Matemática.

Seguem-se algumas passagens do texto, para mostrar que a sua leitura constituí um ganho de tempo e de ideias claras.

“A Matemática não se aprende na Wikipedia ou navegando pela Internet. Exige pensamento, estudo, concentração, treino e algo para que nos últimos 2500 anos não se inventou substituto – o contacto humano. Aquilo a que normalmente se chama aulas.

Não sei se isto parece aborrecido, mas é a melhor (se não mesmo a única) maneira de aprender Matemática. E aprender é não só uma aventura maravilhosa, como tem no final o pote de ouro da compreensão do mundo. E para transformar o Mundo, é preciso primeiro compreendê-lo.”

O elogio da dificuldade: a matemática e a felicidade dos alunos

Pode ler no blogue De Rerum Natura um texto extraordinário de João Lobo Antunes (professor de Medicina e neurocirurgião).

Fala da relação da matemática com as ciências biomédicas e da importância de uma educação de qualidade. De passagem zurze as ideias pedagógicas conhecidas como “eduquês” (e que são, infelizmente, defendidas por muitos professores e outros responsáveis pelo sistema de ensino).

Eis 4 pequenos excertos, para abrir o apetite:

Mostrou-se “há anos que a nota de matemática do 12.º ano era, dos vários parâmetros analisados, aquele que tinha melhor valor preditivo quanto ao sucesso escolar subsequente dos alunos de medicina”.

“Não resisto citar o que o [romancista] José Cardoso Pires me escreveu numa carta: ‘Por causa de três cadeiras não conclui a licenciatura em Matemáticas: hoje estou arrependido porque com certeza escreveria melhor...’ A Matemática e o Português têm, como se vê, uma insondável ligação.”

“Quanto ao fácil e ao difícil, confesso que sou, por formação e método, um partidário feroz da dificuldade, tema que tratei numa ‘oração de sapiência’ chamada ‘O elogio da dificuldade’.”

“A missão da escola não é fazer os alunos felizes, mas sim (…) dar-lhe instrumentos para a construção da sua própria felicidade, além de, como citava T.S. Eliott, fornecer-lhes os meios para ganharem honestamente a vida e equipá-los para desempenhar o seu papel como cidadãos plenos numa democracia. Para isso a escola deve desenvolver o necessário equipamento cognitivo e muscular as qualidades indispensáveis para estas tarefas, preparando-os assim para a ‘luta do mundo’. A minha tese é pois, muito simples: a escola fácil não cumpre a missão de preparar os alunos para a vida difícil.”

Vale a pena ler o resto!

Literal, demasiado literal

Cartoon encontrado no blogue Humor Matemático, sem referência ao autor.

Provas de que há facilitismo nos exames nacionais

No blogue Átomo e Meio pode ler dois excelentes posts que mostram algumas das razões pelas quais se pode afirmar que existe facilitismo nos exames nacionais de Matemática e de Física e Química:

Algumas considerações sobre o facilitismo dos exames nacionais – parte 1 (os formulários).

Algumas considerações sobre o facilitismo dos exames nacionais – parte 2 (as calculadoras gráficas).

Que razões levarão os nossos governantes a promover uma fraude destas?

Dormir bem pode melhorar os resultados escolares

Retirado do blogue (brasileiro) RESOLvest, dedicado à matemática. Clique para ler mais.

«Uma pesquisa produzida por cientistas da área de medicina da Universidade de Pittsburgh, nos Estados Unidos, concluiu que dormir é o melhor caminho para ir bem em provas.

Eles observaram o sono e os hábitos de dormir de 56 jovens (34 mulheres e 22 homens), com idade entre 14 e 18 anos. Depois de alguns meses, os cientistas descobriram que os jovens do grupo que dormem bastante, num sono profundo e sem interrupções, tiram notas mais altas. Principalmente nas matérias de exatas, como a matemática.

Eles observaram ainda que os jovens que dormem pouco aos finais de semana, por causa das baladas ou do videogame, comprometem o desempenho nas provas, mesmo sendo alunos estudiosos, inteligentes e dedicados».

Tendo em conta que amanhã há exames nacionais de Matemática e de História…

A matemática é a priori mas não é inata

«O matemático obtém o rigor e a certeza a priori, significando isto que não recorre a qualquer observação para chegar às suas conclusões matemáticas (*), nem estas conclusões, em si e por si mesmas, implicam observações, pelo que nada que experimentemos pode abalar os fundamentos que possuímos para as conhecer. Não há qualquer experiência que possa desmentir, por exemplo, que 5+7=12. Se adicionássemos 5 coisas a outras 7 e chegássemos a um resultado de 13, contaríamos de novo. Se, após termos repetido a soma, obtivéssemos 13 coisas, concluiríamos que uma das 12 se dividira em duas ou que estávamos a ver a dobrar ou a sonhar (#) ou até a ficar loucos. A verdade é que 5+7=12 é usado para avaliar as experiências de adição, e não o contrário.

A natureza a priori da matemática é (…) o que a torna tão conclusiva, tão incorrigível: uma vez demonstrado, um teorema fica imune à revisão empírica. Existe, em geral, uma espécie de invulnerabilidade na matemática, precisamente por esta ser a priori.

(*) No entanto, isto não significa que essas crenças sejam inatas, i. e., que nascemos com elas. Como é óbvio, precisamos primeiro de adquirir os conceitos e a linguagem para as expressar, antes que possamos acreditar que 5+7=12. O carácter inato é uma noção psicológica, ao passo que o apriorismo é uma noção epistemológica, que tem a ver com a forma como a crença é justificada, o que conta como prova, quer a favor, quer contra esta.»

Rebecca Goldstein, Incompletude – A demonstração e o paradoxo de Kurt Gödel, Gradiva, Lisboa, 2009, pág.16.

(#) Segundo Descartes, a veracidade da matemática mantém-se mesmo durante os sonhos: “quer eu esteja acordado quer durma, dois e três somados são sempre cinco e o quadrado nunca tem mais do que quatro lados”. Assim, para Descartes, mesmo que a hipótese céptica da vida ser um sonho fosse verdadeira isso não implicaria por si só a falsidade da matemática.

Se clicar no nome do livro e na imagem, poderá ler informações úteis sobre o mesmo.