sábado, 24 de Outubro de 2009

A negação de proposições condicionais

A frase “Se a Yolanda estuda, então passa de ano” exprime uma proposição condicional. Esta é uma proposição composta de duas proposições mais simples ligadas pelo conector “Se… então” (ou outros equivalentes, como por exemplo “Caso”). Costuma chamar-se a estas “antecedente” e “consequente”. O que é dito na antecedente constitui uma condição suficiente relativamente àquilo que é dito na consequente. No caso do exemplo, a expressão “condição suficiente” significa que basta (= é suficiente) a Yolanda estudar para conseguir passar de ano. Pode-se também dizer que a antecedente implica a consequente.

Nega-se uma proposição condicional afirmando a antecedente e negando a consequente: “Yolanda estuda, mas não passa de ano”.

A negação de uma condicional não é outra proposição condicional, mas sim uma conjunção. Em vez de “mas” também se pode usar o conector “e”.

Porque é que uma condicional se nega desse modo? Para responder a esta questão é preciso perceber em que condições uma proposição condicional é verdadeira ou falsa.

Há quatro circunstâncias possíveis, que no caso do exemplo dado são:

1. Yolanda estuda e passa de ano.

2. Yolanda não estuda e não passa de ano.

3. Yolanda não estuda e passa de ano.

4. Yolanda estuda e não passa de ano.

(Nos livros de Lógica estas quatro circunstâncias não costumam ser apresentadas por esta ordem, mas optei por ela por ser a mais intuitiva.)

Em 1. a antecedente e a consequente são ambas verdadeiras. Nessa circunstância a condicional é obviamente verdadeira: verificou-se aquilo que nela está enunciado – estudar levou a Yolanda passar de ano. O facto da Yolanda ter estudado e o facto de ter passado de ano confirmam a veracidade da relação enunciada na condicional.

Em 2. a antecedente e a consequente são ambas falsas. Nessa circunstância a condicional continua a ser verdadeira. O facto da Yolanda não ter estudado e o facto de não ter passado de ano não anulam a veracidade da relação enunciada na condicional. Imagine que um professor tinha dito a Yolanda “Se estudas, então passas de ano” e que agora esta alegava que tinha sido enganada. O professor poderia responder: “O que eu te disse é verdadeiro. Se tivesses estudado, terias passado de ano.”

Em 3. a antecedente é falsa e a consequente é verdadeira. Nessa circunstância a condicional continua a ser verdadeira. Esta assegura que basta estudar para passar de ano, mas não diz que essa é a única maneira de passar de ano, não diz que não há outros factores que permitam passar (copiar ou ameaçar o professor, por exemplo). Por isso, o facto da Yolanda não ter estudado e o facto de ter passado de ano não anulam a veracidade da relação enunciada na condicional.

Em 4. a antecedente é verdadeira e a consequente é falsa. Nessa circunstância a condicional é falsa. Caso estude e não passe, a Yolanda já tem motivos para dizer ao tal professor que este disse uma falsidade. Este tinha assegurado que estudar era uma condição suficiente para a Yolanda passar, ou seja, que bastava ela estudar para passar. E isso não se verificou: uma coisa não levou à outra. Daí que, nessa circunstância, a condicional seja falsa.

Em síntese:

ANTECEDENTE

CONSEQUENTE

CONDICIONAL

Verdadeira

Verdadeira

Verdadeira

Falsa

Falsa

Verdadeira

Falsa

Verdadeira

Verdadeira

Verdadeira

Falsa

Falsa

Regressemos então à negação. Ao negar uma certa proposição obtemos uma outra proposição que tem necessariamente de possuir um valor de verdade diferente da proposição inicial. Se a proposição inicial é falsa a sua negação tem de ser verdadeira. Se a proposição inicial é verdadeira a sua negação tem de ser falsa. Não podem ser ambas verdadeiras nem ambas falsas. Ou seja: a proposição inicial e a sua negação têm de ser proposições contraditórias. Por exemplo: ao negarmos a proposição verdadeira “Florença é uma cidade italiana” obtemos a proposição falsa “Florença não é uma cidade italiana”.

Ao negar uma proposição condicional afirmamos a antecedente e negamos a consequente, pois isso equivale a dizer que a antecedente é verdadeira e a consequente é falsa – que, como vimos, é a única circunstância em que uma proposição condicional é falsa. Ao fazer isso estamos a mostrar que, contrariamente ao que tinha sido dito nessa proposição, a antecedente não é uma condição suficiente da consequente. Dito de modo mais coloquial: estamos a mostrar que uma coisa não leva à outra e que a relação enunciada na condicional não ocorre.

A conjunção entre a afirmação da antecedente e a negação da consequente de uma condicional (ou seja, a negação desta) constitui uma proposição que não pode ter o mesmo valor de verdade dessa proposição condicional. Caso seja falso que “Se a Yolanda estuda, então passa de ano” tem de ser verdadeiro que “Yolanda estuda, mas não passa de ano”. E vice-versa: Caso seja verdadeiro que “Se a Yolanda estuda, então passa de ano” tem de ser falso que “Yolanda estuda, mas não passa de ano”.

Se tentássemos negar a condicional de outro modo não conseguiríamos obter uma proposição contraditória com ela e por isso não se trataria de uma autêntica negação. Por exemplo: “Se a Yolanda estuda, então passa de ano” e “Yolanda não estuda e não passa de ano” podem ser, em certas circunstâncias, ambas verdadeiras ou ambas falsas.

(Alguns leitores poderão achar útil o post Condições necessárias e suficientes: análise de um exemplo. Tendo em conta que o mesmo foi escrito a pensar nos alunos do 11º ano, não aconselho a sua leitura aos alunos do 10º ano.)

5 comentários:

Don Giuliano disse...

Ótimo post!
Estou estudando Desenvolvimento de Sistemas (programação de computadores) e tenho aulas de Matemática discreta, as quais temos ensinamentos de preposições. Simplesmente sanou minha dúvida com relação à contradição de uma condicional. Muito obrigado por compartilhar o conhecimento!

Anónimo disse...

Esclarecedor... Parabéns!

Anónimo disse...

Seu post de 2009 me ajudou em 2012...Obrigada.

Anónimo disse...

Obrigado! Texto bastante claro.

joaquim. disse...

E seu post em 2009 me ajudou DEMAIS em 2013. Obrigado.